\title{金融随机分析}
\subtitle{回望期权的马尔可夫性}
\date{}
% \date{\zhtoday}
% \date{2020年秋季}
\author{\textit{甘湘华}}
\institute{}
\titlegraphic{\hfill\includegraphics[height=0.8cm]{../figure/swufe-logo-wide.jpg}}

\begin{document}

\maketitle
\begin{frame}{目录}
    \setbeamertemplate{section in toc}[default] % [sections numbered]
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    %\end{columns}
\end{frame}

\section{回望期权}

\begin{iframe}[c]{计算回望期权的价格}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 考虑 3 -时段二叉树资产定价模型
    \item 如果让 $S_0 = 4$, $u = 2$, $d = \frac{1}{2}$,
      又假设利率 $r = \frac{1}{4}$.
      考虑一个
      回望期权 (lookback option),
      其在时刻 3 的
      支付 (payoff)
      为
      \begin{equation}\label{eq:lookback_option}
          V_3 = \max_{0\leq n\leq 3} (S_n - S_3).
      \end{equation}
    \item 我们称 $M_n = \displaystyle \max_{0\leq n\leq 3} S_n$
      为迄今最大值过程 (maximum to date process),
      如图 \ref{fig:maximum_to_date_process} 所示。
    \item 
      请计算回望期权在各个时刻的价格。
  \end{itemize}

\note{先复习定理 1.2.2 (多时段二叉树模型中的复制），
并且询问定理的使用条件是什么。\\}
\note{\hspace{0.95cm} 提示：支付只发生在期末。\\~\\}

\note{提问：我们曾经做过什么推广？ \\}
\note{\hspace{0.95cm} 提示：现金流定价。\\~\\}

\note{提问：看涨欧式期权不依赖于路径（股票变化的过程），
  定理 1.2.2 能否适用于路径依赖的衍生证券？ \\}
\note{\hspace{0.95cm} 提示：我们先研究一下某个特殊的依赖于路径的衍生证券。\\}

\note{提问：哪种衍生证券是依赖于路径的？ \\}
\note{\hspace{0.95cm} 提示：回望期权。\\}

\note{练习：计算期权在各时期的价格 \\}
\note{\hspace{0.95cm} 提示：利用反向递归的思想。\\~\\}
\end{iframe}

\begin{frame}[c]{计算回望期权的价格（图）}
\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{../image/BT-3-lookback.pdf}
  \caption{迄今最大值过程}
  \label{fig:maximum_to_date_process}
\end{figure}
\end{frame}

\section{验证随机过程的马尔可夫性}%
\label{sec:yan_zheng_guo_cheng_de_ma_er_ke_fu_xing_}

\begin{oframe}[c]{一维独立性引理}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 考虑 N -时段二叉树资产定价模型
    \item 假设随机变量 $X$ 只依赖第 1 到  $n$ 次抛掷结果，
      随机变量 $Y$ 只依赖第  $n+1$ 到第 $N$ 次抛掷结果。
      设 $f(x, y)$ 是哑变量 $x$ 和 $y$ 的函数。
    \item 我们定义：
      \begin{equation}\label{eq:lem:independence}
        g(x) = \mathbb{E}[f(x, Y)].
      \end{equation}
    \item 则有：
      \begin{equation}\label{eq:lem:independence_2}
        \mathbb{E}_n[f(X, Y)] = g(X).
      \end{equation}
  \end{itemize}
  \note{提问：我们曾经学过这个引理的一个特例，还记得吗？ \\}
  \note{\hspace{0.95cm} 提示：条件概率中的提取已知量引理。\\~\\}

  \note{这个引理可以看作是提取已知量引理的一个推广。\\~\\}

  \note{练习：如果 $f(x,y) = xy$, 证明引理成立？ \\}
  \note{\hspace{0.95cm} 提示：利用条件概率的引理。\\~\\}

  \note{注意：哑变量不参与期望的计算。\\~\\}

  \note{引导思考：怎么证明两个随机变量相等？\\~\\}
\end{oframe}

\begin{oframe}[c]{多维独立性引理}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 考虑 N -时段二叉树资产定价模型
    \item 假设随机变量 $X^1,\ldots,X^K$ 只依赖第 1 到  $n$ 次抛掷结果，
      随机变量 $Y^1,\ldots,Y^L$ 只依赖第  $n+1$ 到第 $N$ 次抛掷结果。
      设 $f(x^1,\ldots,x^K, y^1,\ldots,y^L)$
      是哑变量 $x^1,\ldots,x^K$ 和 $y^1,\ldots,y^L$ 的函数
    \item 我们定义：
      \begin{equation}\label{eq:lem:independence-KL}
        g(x) = \mathbb{E}[f(x^1,\ldots,x^K, Y^1,\ldots,Y^L)]
      \end{equation}
    \item 则有：
      \begin{equation}\label{eq:lem:independence-KL_2}
        \mathbb{E}_n[f(X^1,\ldots,X^K, Y^1,\ldots,Y^L)] = g(X^1,\ldots,X^K)
      \end{equation}
  \end{itemize}
\end{oframe}

\begin{iframe}[c]{证明一个过程不具有马尔可夫性}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 考虑图~\ref{fig:maximum_to_date_process} 中的迄今最大值过程
    \item 其中 $p = \frac{2}{3}, q = \frac{1}{3}$
    \item 证明此过程不是马尔可夫过程
  \end{itemize}
  \note{提问：证明一个过程是马尔可夫过程，需要找到一个 $g(\cdot)$.
    证明 ``找不到'' 容易吗？ \\}
  \note{\hspace{0.95cm} 提示：反证法。\\~\\}
  \note{提问：风险中性概率下，是马尔可夫过程吗？ \\}
  \note{\hspace{0.95cm} 提示：。\\~\\}
\end{iframe}

\section{多维马尔可夫过程}%
\label{sec:duo_wei_ma_er_ke_fu_guo_cheng_}

\begin{iframe}[c]{$K$-维马尔可夫过程}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      设
      \begin{equation}\label{eq:k_adapted_stochastic_process}
          \left\{
              \left( X_n^1, X_n^2, \ldots, X_n^K \right);
              \quad n = 0, 1, \ldots, N
          \right\}
      \end{equation}
      为一个 $K$-维适应过程
    \item 
      如果对每个 $0$ 到 $N-1$ 之间的 $n$ 以及每个函数 $f(x^1,\ldots,x^K)$,
      存在另一个函数 $g(x^1,\ldots,x^K)$ (依赖于 $n$ 和 $f$),
      使得：
      \begin{equation}\label{eq:k_markov_process}
          \mathbb{E}_n\left[ f(X_{n+1}^1, X_{n+1}^2, \ldots, X_{n+1}^K)\right]
          =
          g(X_n^1, X_n^2, \ldots, X_n^K),
      \end{equation}
      则称过程 \eqref{eq:k_adapted_stochastic_process}
      是一个马尔可夫过程
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{$(S_n, M_n)$ 的马尔可夫性}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item $S_n$ 是股票价格过程，$M_n$ 是股价迄今最大值过程
    \item 证明二维随机过程
      \begin{equation*}%\label{eq:2_markov_process}
          (S_n, M_n), \quad n = 0, 1, \ldots, N,
      \end{equation*}
      是一个马尔可夫过程
  \end{itemize}
  \note{提问： $M_n$ 为什么不是一个马尔可夫过程？ \\}
  \note{\hspace{0.95cm} 提示：$M_n$ 记录的信息有缺失。\\~\\}

  \note{提问：增加什么信息，就可以完整地记录信息？ \\}
  \note{\hspace{0.95cm} 提示：当期的股价。\\~\\}
\end{iframe}

\section{总结}%
\label{sec:_zong_jie_}

\begin{iframe}[c]{衍生证券价格是股价的函数}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      考虑基于风险中性测度的N -时段二叉树资产定价模型。
      设 $X_0, X_1, \ldots, X_N$ 为马尔可夫过程
    \item 
      如果欧式衍生证券在时刻 $N$ 的支付为
      $v_N(X_N)$,
      我们有：
      \begin{equation}\label{eq:v_function_of_x}
          V_n = v_n(X_n), \quad n = 0, 1, \ldots, N
      \end{equation}
    \item 
      存在一个计算 $v_n(\cdot)$ 的递归算法，
      确切的公式依赖于基本的马尔可夫过程
    \item 
      对于多维马尔可夫过程
      $X_0, X_1, \ldots, X_N$,
      类似结果也成立
  \end{itemize}
\end{iframe}

\end{document}
